Ispilu esferikoek aplikazio ugari dituzte gaur egun; adibidez, kale izkinatan ipintzen diren ispiluak ikuspegi eremua handitzeko, auto eta motoen erretrobisoreak,…

Orokorrean ispilu esferikoak bi motatakoak dira:

• AHURRAK: argi izpiak barnealdeko aurpegian islatzen direnean.
• GANBILAK: islapen gainazala kanpoaldeko aurpegia denean. (A)

Ispilu Esferiko Baten Elementuak

• KURBADURA ZENTROA (C): ispiluak osatzen duen esferaren zentroa.
• IRUDI ZENTROA (O): ispiluaren erdiko puntua edo poloa.
• ARDATZ NAGUSIA: zuzena.
• FOKUA (F):
  • Ispilu AHURRETAN, ardatz nagusiarekiko paraleloak diren argi izpiak, islatu ondoren, mozten diren puntua.
  
  • Ispilu GANBILETAN, ardatz nagusiarekiko paraleloak diren argi izpiak, islatu ondoren, hauen luzapenak elkar ebakitzen duten puntua. Kasu honetan ispiluaren atzean dago eta horregatik kasu hauetan fokua birtuala da.
  
• FOKU DISTANTZIA (f): fokua eta irudi zentroaren arteko distantzia da. Ispiluaren kurbadura erradioaren erdia da.

Irudiak Ispilu Esferikoetan

Ispilu esferikoetan lortzen diren irudiak ispilu lauetan bezala lortzen dira, hau da, objektuak igortzen dituen infinitu izpietatik bi (edo gehiagoren) bidea jarraitzen da. Islatutako izpiak mozten badira, ebakipuntua irudia izango da eta irudi ERREALA izango da. Izpiak dibergenteak badira, hauen luzapenak mozten diren puntua izango da irudia eta berau BIRTUALA izango da.

Irudiak zehazteko objektutik irteten den edozein izpi hartu dezakegu, baina errazagoa izango da baldin eta islatutako izpia erraza bada irudikatzeko.

Irudian ikusten denaren arabera zera esan daiteke:

Ezkerreko irudian ikusten den bezala ardatz optikoaren gaineko puntu baten irudia ere ardatz berean aurkitzen da.

Ispilu esferikoetan lortzen diren irudien ezaugarriak asko aldatzen dira objektuaren posizioa ispiluarekiko aldatzen denean. Ondorengo irudietan guzti honen zenbait adibide ikus ditzakezue.(B)

Ekuazioak ispilu esferikoetan

Baldin eta irudien eraikuntza eskalan egiten badugu, bere posizioa eta altuera geometrikoki kalkulatu daiteke. Hala ere, irudien azterketa kuantitatibo zehatzagoa egin nahi bada, metodo analitiko batera jo behar dugu.

Kontsidera dezagun ondorengo adibidea:

Lortu nahi ditugun ekuazioen kalkulua erraztu arren suposa dezagun bi kasu, bakoitzean izpi bakarra kontutan hartuko dugu:

1.- Lehenengo kasuan fokutik pasatzen den izpia kendu dugu. Adibidearen arabera:

OAB triangeluan:

OA’B’ triangeluan:

Islapenaren bigarren legearen arabera: α=β. Beraz:

Eta ondorioz:

(C)

zatidurari ALBOKO HANDITZEA (β) deritzo. Irudiaren tamainaren eta objektuaren tamainaren arteko erlazioa ematen digu.

2.- Bigarren kasuan irudiaren zentrora zuzentzen den izpia kendu dugu.

ABF triangeluan:

FOG triangeluan: (D)

Eta ondorioz:

Aurreko atalean ikusi dugun erlazioaren arabera:

Azkenik, berdintzaren bi atalak s-z zatituz, zera lortzen dugu:

Kontutan hartzekoak

  Ispilu esferikoak ganbilak edo ahurrak izan daitezke, leundutako gainazala edo islatzailea kanpokoa edo barrukoa, hurrenez hurren, den arabera.

Onartutako zeinu-irizpidearen arabera:

• Ispilu ganbilentzako: R>0
• Ispilu ahurrentzako: R<0

Beheko irudian ikus daitekeen bezala, ispilu ganbiletan lortzen diren irudiak BETI BIRTUALAK, ARTEZAK eta TXIKIAGOAK dira.

Ispilu esferikoen lehenengo legea deduzitzerakoan α=β dela esan dugu. Baina DIN arauek diotena haintzat hartzen badugu, konturatuko gara angelu biek aurkako ikurra dutela. Ondorioz, adierazpenean, zatiki biek aurkako ikurra eduki beharko dute tgα=-tgβ izango baita. Hori dela eta ekuazioan agertzen den ikur negatiboa.

Ispilu esferikoen bigarren ekuazioa lortzerakoan zera suposatu dugu: izpi erasotzaileak, ardatz optikoak eta ispiluak FOG triangelu zuzena osatzen dutela. Eskematik garbi deduzitu daitekeen bezala G puntua ispilu "barruan" geratzen da, beraz, izpia ez da G puntura heltzen, ispiluaren gainazalean dagoen puntu desberdin batera heldu eta islatu egiten da. Ondorioz, izpia, ardatz optikoa eta ispiluak sektore bat osatzen dute eta ez triangelu zuzena. Halere, ardatzarekiko inklinazio txikia duten izpientzat sektore hau triangelu zuzen batera hurbil daiteke errore handiegirik egin gabe, beraz, OG zuzenkia irudiaren tamainarekin (A’B’) bat datorrela onartu dezakegu.

Inklinazio handia duten izpien kasurako, berriz, hurbilketa honek ez du balio eta, ondorioz, izpi hauek ez dira elkar moztuko irudi puntu berean. Alegia, ispilu esferikoa estigmatikoa izango da bakar bakarrik zonalde paraxialetik erasoko duten izpientzat. Zonalde hau are eta handiagoa izango da baldin eta ispiluaren kurbadura erradioa geroz eta handiagoa baldin bada.

Ebaztutako ariketa

2.- Ispilu esferiko ahur batekiko 30 cm-tara dagoen objektu batek ispilutik 15 cm-tara eratzen den irudi erreal bat du. Ispilutik zein distantziara kokatu behar da objektua, berau eta bere irudia posizio berean egoteko?. (Ebazpena – 34,6 kb)

Proposatutako Ariketak

3.- Ondorengo taula ispilu esferiko ahur bati dagokio. Osatu ezazu:

4.- Ispilu ganbil baten aurrean objektu bat ipintzen da bere kurbadura erradioaren erdia den distantzia batera. Zeintzuk izango dira eratutako irudiaren ezaugarriak?. Ondo esplikatu.

5.- 0,8 cm-ko objektu bat 20 cm-ko kurbadura erradioa duen ispilu baten irudi zentrotik 15 cm-tara aurkitzen da.Adierazi ezazu zein izango den irudiaren izaera, posizioa eta tamaina:

1. ispilua ahurra bada.
2. ispilua ganbila bada.
3. Ebatzi itzazu aurreko bi galderak geometrikoki.

6.- Geldirik aurkitzen den auto baten atzerako ispilua (“erretrobisorea”) ispilu esferiko ganbil batez osatua dago eta abiadura konstantez autorantz hurbiltzen ari den beste auto baten irudi birtuala jasotzen du. Hurbiltzen ari den autoa 8 m-tara aurkitzen denean bere irudia benetako tamainaren -a da.

1. Zein da ispiluaren kurbadura erradioa?
2. Ispilutik zer distantziara eratzen da irudia?
3. Segundo bat beranduago ispiluan ikusten den irudia bikoiztu egin da. Ispilutik zein distantziara aurkitzen da orain autoa?.
4. Zein da bere abiadura?.